Mengapa 0 faktorial sama dengan 1 ( 0! = 1 ) ?

Biasanya n faktorial didefinisikan dengan cara berikut:

      n! = 1 * 2 * 3 * ... * n ( Apakah ini benar? ) silahkan anda pikirkan.

Tapi definisi ini tidak memberikan nilai 0 faktorial.
Cara pertama untuk melihat bahwa 0! = 1 adalah dengan bekerja mundur.

Diketahui: n! = n*(n-1)!

                (n-1)! = n!/n

 Kita tahu bahwa:

                1! = 1
     2! = 2*1!
                2! = 2
     3! = 3*2!
                3! = 6
     4! = 4*3!
                4! = 24
            Kita bisa mengubah ini menjadi:

                4! = 24
     3! = 4! / 4
                3! = 6
     2! = 3/3!
                2! = 2
     1! = 2/2!
                1! = 1
     0! = 1/1!
                0! = 1 
Dengan cara ini nilai yang masuk akal untuk 0! dapat ditemukan.Bagaimana kita bisa memuat 0! = 1 menjadi definisi untuk n! ? Mari kita menulis ulang definisi biasa:

      1! = 1
      n! = N * (n-1)! untuk n> 1
     Sekarang sederhananya untuk mengubah definisi dengan memasukkan 0! :

      0! = 1
      n! = N * (n-1)! untuk n> 0
     Mengapa penting untuk menghitung 0! ? Sebuah aplikasi penting dari faktorial adalah perhitungan kombinasi nomor:

               n!
   C (n, k) = --------
            k! (n-k)!
        C (n, k) adalah jumlah kombinasi yang dapat membuat benda k keluar dari himpunan n objek. Kita melihat bahwa C (n, 0), dan C (n, n) harus sama dengan 1, tetapi mereka mengharuskan 0! akan digunakan.

                      n!
   C (n, 0) = C (n, n) = ----
                     n! 0!
Jadi 0! = 1 merapikan kesesuaian apa yang kita harapkan dari C (n, 0), dan C (n, n).Dapatkah faktorial juga dihitung untuk angka selain bilangan bulat? Ya, ada fungsi yang terkenal, fungsi gamma G (z), yang membentang faktorial ke nomor nyata dan bahkan kompleks. Definisi dari fungsi ini, bagaimanapun, adalah tidak sederhana:

          inf.
   G (z) = INT x ^ (z-1) e ^ (-x) dx
           0 
Perhatikan bahwa perpanjangan n! oleh G (z) adalah bukanlah sesuatu yang mungkin anda pikirkan: jika n adalah bilangan asli, maka G (n) = (n-1)! dan Fungsi gamma tidak terdefinisi untuk bilangan bulat nol dan negatif, dari situ kita dapat menyimpulkan bahwa faktorial dari bilangan bulat negatif tidak ada.

REFERENSI:

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0factorial.html